閉包概念

　　以下是寫的比較科學規范的閉包求解方法，設X和Y均為關系R的屬性集的子集，F是R上的函數依賴集，若對R的任一屬性集B，一旦X→B，必有B?Y，且對R的任一滿足以上條件的屬性集Y1 ，必有Y?Y1，此時稱Y為屬性集X在函數依賴集F下的閉包，記作X^＋。 

　　計算關系R的(de)屬性(xing)集X的(de)閉(bi)包(bao)的(de)步驟如(ru)下： 

　　第一步：設最終將成為(wei)閉包的屬性集(ji)是Y，把Y初始化為(wei)X； 

　　第二步：檢(jian)查F中(zhong)的每(mei)一個函數依賴A→B，如(ru)果屬性集A中(zhong)所(suo)有屬性均(jun)在(zai)Y中(zhong)，而B中(zhong)有的屬性不在(zai)Y中(zhong)，則將(jiang)其加入到Y中(zhong)； 

　　第三步：重復第二步，直到沒有屬性可以添加到屬性集Y中為止。 最后得到的Y就是X^＋

      例（1）：   設有關系模式R(U，F)，其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，計算(AE)⁺

        解:  (1) 令X={AE}，X(0)=AE

              (2)在F中尋找尚未(wei)使用過的左邊是AE的子集的函數依(yi)賴，結(jie)果是: A→D， E→C；所(suo)以 X(1)=X(0)DC=ACDE， 顯(xian)然 X(1)≠X(0).

              (3) 在F中尋找尚未使用過的左邊是ACDE的子集的函數依賴， 結果是: CD→I；所以 X(2)=X(1)I=ACDEI。雖然X（2）≠X(1)，但F中尋找尚未使用過函數依賴的左邊已經沒有X（2）的子集，所以不必再計算下去，即(AE)⁺=ACDEI。

　　　說白話一點：閉包就是由一個屬性直接或間接推導出的所有屬性的集合。

         例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直(zhi)接得到b和(he)d，間接得到c，則a的閉包就是(shi){a，b，c，d}

候選碼的求解理論和算法

　　對于給定的關系R（A1，A2，…An）和(he)函(han)數依賴集F，可(ke)將其屬性分為4類：

　　　　L類(lei)  僅出現在函數依賴(lai)左(zuo)部(bu)的屬(shu)性。

　　　　R 類  僅出現在(zai)函數(shu)依賴(lai)右部的屬(shu)性。

　　　　N 類  在函數依賴左右(you)兩(liang)邊均未出(chu)現的(de)屬(shu)性。

　　　　LR類(lei)  在函數依賴左右兩邊均出(chu)現的屬性。

　　定理：對于給定的關系模式R及其函數依賴集F，若(ruo)X（X∈R）是(shi)L類屬性，則X必為R的任一(yi)候選碼的成員。

　　推論：對于給定的關系模式R及其函數依賴集F，若X（X∈R）是L類屬性，且X⁺包含了R的全部屬性；則X必為R的唯一候選碼。

　　例（2）：設(she)有關系模式(shi)R（A，B，C，D），其函(han)數依賴集(ji)F={D→B，B →D，AD →B，AC →D}，求R的(de)所有候選碼。

　　       解：考察F發現，A，C兩屬性是L類屬性，所以AC必是R的候選碼成員，又因為（AC）⁺=ABCD，所以(yi)AC是R的唯一(yi)候(hou)選碼。

　　定理：對于給定的關系模式R及其函數依賴集F，若(ruo)X（X∈R）是R類(lei)屬性，則X不在任何候(hou)選碼中。

　　定理：對于給定的關系模式R及其函數依賴集F，若(ruo)X（X∈R）是(shi)N類屬性(xing)，則X必包(bao)含(han)在(zai)R的任一(yi)候選碼中(zhong)。

　　推論：對于給定的關系模式R及其函數依賴集F，若X（X∈R）是L類和N類組成的屬性集，且X⁺包含了R的全部屬性；則X是R的唯一候選碼。